Steen Groðe
En standard algoritme ...
Ligningen her er nok det sværeste en folkeskole elev kommer til at møde. De måder, det kan gøres værre på, er at anvende specielle funktioner, ændre graden af den ubekendte, eller antallet af ubekendte. Og i de situationer er det ikke altid algoritmen slår til.
1) Find en fællesnævner og gang alle led med den.
Fidusen er at vi slipper af med alle nævnerne.
2) Reducer begge sider hver for sig mest muligt.
3) Saml de ubekendte og de bekendte på hver sin side af lighedstegnet.
4) Multiplicer med det inverse til faktoren foran den ubekendte på begge sider af lighedstegnet.
Vupti; løsningen er nået.
En standard opgave til algoritmen ...
Begynd med at udpensle hvad der foregår fra linie til linie. Gør derefter forbistret grundigt rede for på hvert trin hvilke talmængder der er nødvendige, hvilke strukturer der er væsentlige og hvilke matematiske evner eleven må beherske for at løse opgaven.
Et standard eksempel ...
Hvis du ser på ligningen som i de naturlige tal organiseret ved multiplikation har en løsning, opdager du, at du kan ikke regne dig til løsningen. Du kan se, at du kan gætte den og du kan bemærke at hvis du også kender addition og kan tælle så kan du regne opgaven ved at lægge 2 sammen et passende antal gange. Som et alternativ kan du enten indføre nogle nye tal (brøker) eller en ny komposition (division) og så kan du beregne løsningen. Men eksemplet er vist for simpelt til at gå rent ind (fagdidaktiske tanker omkring den problemstilling bør lærerstuderende gøre) så tillad mig at præsentere et mere komplekst eksempel.
Hvis vi kigger på en generel 3. gradsligning så kan den relativt let omskrives til noget mere simpelt. Først kan vi dividere hvert led med så får vi som kan skrives som . Ved at sætte kan vi yderligere reducere ligningen:
Så forsvandt vores 2. gradsled og vi kan altså nøjes med at kunne løse ligninger på formen: .
Til det formål har Tartaglia i det 16. århunderede fundet en formel (kendt som Cardanos formel) som i mange tilfælde kan give os en løsning:
Bemærk at formlen i de reelle tal kun giver mening for .
Lad os så kigge på en ligning:
I Mathcad finder du let løsningerne, som viser sig alle at være reelle.
Har du tjek på hvordan den linie læses?
Og grafisk er du også i stand til at bestemme ligningens løsninger rimelig præcist:
Men til gengæld går det knap så heldigt hvis vi bruger Cardanos formel:
Bemærk at så formlen giver ikke mening i de reelle tal, men lad os alligevel prøve at følge i Bombellis spor. Han fik ideen at regne videre i 1572.
NB Hvis du sætter Mathcad til at regne det så får du resultatet på kompleks form, men vi kender i eksemplet kun til reelle tal. Men ungerne kommer altså til at kende komplekse tal når de bruger Mathcad - en god begrundelse for at deres lærer også må kende dem! Det er også en god begrundelse for at deres lærer må være i stand til at regne visse ting uden brug af maskiner. Ellers kan læreren fx ikke lave disse eksempler.
Men selv om vi nu har fået noget vi ikke aner hvad vi skal stille op med så forsøger vi at lade som om at det er helt ligegyldigt. Nogle matematikere vil udtrykke væmmelse ved en sådan fremgangsmåde, jeg synes i modsætning til det at det er i sådanne situationer at matematik for alvor bliver musisk.
Prøv at omskrive .
Du skal få at og ligeledes er . Hvis vi sætter den erfaring ind i formlens forslag til en løsning får vi at
Så vi fandt faktisk en løsning ved at arbejde med noget som (indtil vi definerer det) ikke har nogen mening. Jamen er det ikke vidunderligt? Som matematikere er vi nu blevet ansporet til at definere dette ubekendte på en hensigtmæssig måde. Løsningen der i mod er vi stort set ligeglade med.
De to andre løsninger findes nemmest ved at dividere den allerede fundne bort - altså:
Og der efter løse andengrads ligningen. Kan du forresten udføre divisionen på et stykke papir? Og har du nogen matematisk kritiske tanker overfor divisionen?